Bestäm största och minsta värde till funktionen
•
Det är vanligt att man söker funktions extremvärden som alltid är ett värde $f\left(a\right)$() och extrempunkter som anges som något värde $x=a$= i definitionsmängden.
Exempel 2
Bestäm största eller minsta värdet till funktionen $f\left(x\right)=-x^2+4x+5$()=−2+4+5.
Lösning
Denna funktion har en maximipunkt då det är en negativ $x^2$2-term i funktionsuttrycket.
Vi kan söka symmetrilinjens ekvation för att ta reda på $y$ -värdet i denna maximipunkt och då tar vi första reda på nollställena.
Nollställena ges av pq-formeln.
$-x^2+4x+5=0$−2+4+5=0dividera båda led med $-1$−1
$x^x-5=0$2−4−5=0sätt in värden i PQ-formeln
$x=$=$-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(-\frac{4}{2}\right)^2-\left(-5\right)}$−−42±√(−42)2−(−5)beräkna
$x=2\pm\sqrt{4+5}$=2±√4+5
$x=2\pm3$=2±3
Vi har nollställen i $x_1=-1$1=−1och $x_2=5$2=5 så symmetrilinjens ekvation är $x_s=$=$\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=$−1+52=42=$2$2
Det största värdet ges av $f\left(2\right)=-2^2+4\cdot2+5=9$(2)=−22+4·2+5=9
Det största värdet är $y=9$=9
Självklart kan du lika gärna använda kunskapen att $x_s=$=$-\frac{p}{2}$−2 där $p$ motsvarar förstagradstermens koefficient i PQ formen eller om andragradsf
•
Bestämma största och minsta värde för funktionen f(x,y) = x^x+2y^2+2
i) RANDPUNKTER Jag ska parametisera de två delarna av randen, x=0, x^2+y^2=4.
Jag ska använda polära koordinater.
ii) STATIONÄRA PUNKTER Vi beräknar för vilka punkter (x, y) det gäller att Här har vi
Jag vill nu ta fram de partiella derivatorna. För att få fram inre stationära punkter sätter jag de partiella derivatorna lika med noll.
iii) PUNKTER DÄR f EJ ÄR DERIVERBAR
Mina frågor i detta skede är:
Kan man se detta som ett optimeringsproblem över en kompakt mängd?
Måste man använda polära koordinater? Innebär detta att man skriver om till uttryck med cos och sin?
Viken är skillnaden mellan att ta fram extrempunkterna för en HALV cirkelskiva mot om det hade varit en HEL cirkelskiva?
Kan jag ha nytta av detta exempel från KTH i lösningen av mitt problem? Det handlar om en HEL cirkelskiva Optimering exempel KTH
•
Bestäm funktionens största/minsta värdet
Eftersom existerar en andragradsfunktion så äger ekvationen endast två lösningar.
Dessa är samt .
Det gäller alltså för att funktionen endast har två stationära punkter (punkter tan är lila med 0)
Det gäller alltså inte för att är lika med 0.
Det gäller inte heller för att är lika med 0.
Teckentabellen använder ni endast mot att ta reda vid om samt är min- max- alternativt terrasspunkter.
Du bör därför ej ha tillsammans med vare sig och inom din teckentabell.
Men som Smaragdakena skrev inom sitt svar: Du behöver inte ens göra enstaka teckentabell på grund av att åtgärda denna uppgift.
Eftersom du endast behöver ange det minsta och största värdet därför räcker detta att ni beräknar funktionsvärdet vid dem fyra x-koordinaterna, , samt och sedan jämför dem med varandra.
Det minsta samt det största värdet måste nämligen återfinnas bland dessa fyra värden.